工科研究生公共課程數學系列之
《數值分析》教師：王振海
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教材
封建湖，車剛明，聶玉峰，數值分析原理，科學出版社，2001
參考書
1、車剛明，聶玉峰，封建湖，歐陽潔，數值分析典型題解析及自測試題，西北工業大學出版社，2002
2、封建湖，車剛明，計算方法典型題分析解集（第二版），西北工業大學出版社，2001
3、封建湖，聶玉峰，王振海，數值分析導教導學導考，西北工業大學出版社，2003
第一章緒論
內容提要
1 算法的概念、可靠性以及優劣評判
2 誤差的度量以及傳播
3 算法設計應注意的問題
一、科學與工程計算過程
提出實際問題
辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假設的條件下，運用各種數學理論、工具和方法，建立起問題中不同量之間的聯系，即得到數學模型。
建立數學模型
數學模型解的存在性（模型內部沒有蘊含矛盾）、惟一性（模型是完備的)以及對相關數據的連續依賴性統稱為模型的適定性。
提出數值問題
數值問題是指有限個輸入數據（問題的自變量、原始數據）與有限個輸出數據（待求解數據）之間函數關系的一個明確無歧義的描述。這正是數值分析所研究的對象。.
科學與工程計算過程（續）
分類方法1：若算法包含有一個進程則稱其為串行算法，否則為并行算法。
分類方法2：從算法執行所花費的時間角度來講，若算術運算占絕大多數時間則稱其為數值型算法，否則為非數值型算法。
本課程介紹數值型串行算法。（其它類型算法參閱數據結構、并行算法等課程）
設計高效可靠的算法
數值分析的任務之一就是提供求得數值問題近似解的方法—算法。
概念：從程序設計的角度來講，所謂算法是由一個或多個進程組成；每個進程明確無歧義地描述由操作及操作對象合成的按一定順序執行的有限序列；所有進程能夠同時執行并且協調地在有限個操作步內完成一個給定問題的求解。這里操作可以是計算機能夠完成的算術運算（加減乘除）、邏輯運算、字符運算等。
設計高效可靠的算法（續1）
優劣評價：可靠算法的優劣，應該考慮其時間復雜度（計算機運行時間）、空間復雜度（占據計算機存儲空間的多少）以及邏輯復雜度（影響程序開發的周期以及維護）。這是數值分析研究的第三個任務。
可靠性：所謂算法的可靠性包括如下幾個方面：算法的收斂性、穩定性、誤差估計等。這些是數值分析研究的第二個任務。
一個算法在保證可靠的大前提下再評價其優劣才是有價值的。
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設計高效可靠的算法（續2）
鑒于實際問題的復雜性，通常將其具體地分解為一系列子問題進行研究，本課程主要涉及如下幾個方面問題的求解算法：
函數的插值和逼近
數值積分和數值微分
線性方程組求解、非線性方程（組）求解
代數特征值問題
常微分方程數值解。
本課程的學習方法
盡管本課程所講算法是很有限的，但許多初學可能仍會覺得公式多，理論分析復雜。在此，我們提出如下的幾點學習方法，僅供初學者參考。
1、認識建立算法和對每個算法進行理論分析是基本任務，主動適應公式多和講究理論分析的特點。
2、注重各章節所研究算法的提出，搞清楚問題的基本提法、逐步深入的層次及提法的正確性。
3、理解每個算法建立的數學背景、數學原理和基本線索，而且對一些最基本的算法要非常熟悉。
4、從各種算法的理論分析中學習推理證明方法，提高推理證明能力。
5、認真進行數值計算的訓練。
科學與工程計算過程小結
提出實際問題
建立數學模型
提出數值問題
設計可靠、高效的算法
程序設計、上機實踐計算結果
計算結果的可視化
在具體問題的求解過程中，上述步驟形成一個循環。
科學計算（數值模擬）已經被公認為與理論分析、實驗分析并列的科學研究三大基本手段之一。
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二、誤差基礎知識
內容提要：
1.誤差的來源及其分類
2.誤差的度量
3.誤差的傳播
三、舍入誤差分析及數值穩定性
1.浮點數系
2.舍入誤差的產生
3.舍入誤差分析
4.數值穩定性
5.算法設計注意事項
總之, 除了算法的正確性之外, 在算法設計中至少還應注意如下幾個方面的問題:
1 盡量避免兩個相近的近似數相減;
2 合理安排量級相差很大的數之間的運算次序, 防止大數"吃掉"小數;
3 盡可能避免絕對值很小的數做分母;
4 防止出現溢出;
5 簡化計算步驟以減少運算次數;
6 選用數值穩定性好的算法.
第二章函數插值
問題提出
1函數表達式過于復雜不便于計算, 而又需要計算許多點處的函數值
2 僅有采樣值, 而又需要知道非采樣點處的函數值
……
上述問題的一種解決思路：建立復雜函數或者未知函數的一個便于計算的近似表達式.
內容提要
插值問題
插值多項式的構造方法
分段插值法
第三章函數逼近
一、問題的提出
二函數逼近問題
主要內容
賦范空間、內積空間、正交多項式
最佳平方逼近
曲線最小二乘擬合
最佳一致逼近（工科研究生不要求）
第四章數值積分與數值微分
§1 數值積分概述
§2 Newton Cotes 公式
§3 Romberg求積法
§4 Gauss型求積公式
§5 數值微分
第五章解線性方程組的直接方法
§5.0 概述
§5.1 高斯消去法
§5.2 矩陣分解及其在解方程組中的應用
§5.3 矩陣的條件數和方程組的性質
第六章解線性代數方程組的迭代法
§6.1向量和矩陣序列的極限
§6.2 迭代法的基本理論
§6.3 幾種常見的迭代法
第七章非線性方程求根
§7.0 簡介
§7.1 二分法（對分法）
§7.2 迭代法的基本理論
§7.3 迭代的加速收斂方法
§7.4 Newton迭代法
§7.5弦割法和拋物線法
第八章矩陣特征值與特征向量的計算
§8.0 問題描述
§8.1 乘冪法與反冪法
§8.2 雅可比方法
§8.3 QR方法
§8.4 求實對稱三對角矩陣特征值的二分法
第九章
常微分方程初值問題的數值解法
§9.1 引言
§9.2Euler方法§9.3Runge–Kutta公式
§9.4單步法的進一步討論
§9.5線性多步法
數值算例
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